Systems of Linear Equations
Tanım
İki doğru, iki bilinmeyen, tek kesişim noktası.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi (system of linear equations), aynı anda sağlanması gereken iki denklemi içerir. Çözüm, her iki denklemi de sağlayan (x, y) noktasıdır. Grafiksel olarak iki doğrunun kesişim noktasıdır.
SAT'te bu konuda 3-4 soru çıkar. İki temel yöntem vardır:
- Substitution (yerine koyma): bir denklemden x veya y'yi çekip diğerine yerleştir.
- Elimination (yok etme): iki denklemi toplayıp veya çıkararak değişkenlerden birini yok et.
Sistem çözüm sayısı üç durumdadır: tek çözüm (iki doğru bir noktada kesişir), sonsuz çözüm (iki denklem aynı doğruyu temsil eder), çözüm yok (iki doğru paraleldir, kesişmezler).
Çözüm Sayısı ve Grafik
Sistem çözüm sayısı denklemlerin eğim ve y-kesiminden hızla görülebilir.
5 Adımlı Strateji
Sistemi çözmek için doğru yöntemi seç. Yöntem seçimi hızı belirler.
- Denklemleri düzenli yaz. Her ikisini de Ax + By = C formuna getir. Karışıklıktan kurtul.
- Yöntem seç. Bir değişkenin katsayısı 1 veya −1 ise substitution. Katsayılar zaten karşıt veya eşit ise elimination daha hızlı.
- Substitution uygula. y = mx + b şeklinde yalnız bırak, diğer denkleme yerleştir. Tek bilinmeyenli denklem çıkar, çöz.
- Elimination uygula. Bir veya iki denklemi çarp ki bir değişkenin katsayıları zıt işaretli ve eşit büyüklükte olsun. Topla, o değişken yok olur.
- Bulunan değeri yerine koy. Tek değişken bulunduktan sonra ya birinci ya da daha kolay olan denkleme yerleştir, diğer değişkeni çıkar. Cevabı (x, y) çifti olarak yaz.
3 Tipik Tuzak
Sistem sorularında üç ana hata kalıbı.
Elimination İşaret Hatası
Eliminasyon için iki denklemi çıkarırken işaretleri tam çevirmemek. Sonuç ters çıkar.
Eksik Değişken
Tek değişkeni bulup durmak. Soru genelde (x, y) çiftini veya bir kombinasyonu ister.
Çözüm Sayısı Yanılgısı
Eğimleri karşılaştırmadan sistemde "çözüm yok" demek. Eğimler eşit + kesimler farklı olmalı.
Örnek 1 · Substitution
Aşağıdaki sistemin çözümü olan (x, y) çiftinde x + y değeri kaçtır?
y = 2x − 3
3x + y = 17
- A) 7
- B) 9
- C) 11
- D) 13
Adım 1. İlk denklemde y zaten yalnız (y = 2x − 3). Substitution için ideal.
Adım 2. İkinci denkleme yerleştir: 3x + (2x − 3) = 17 → 5x − 3 = 17 → 5x = 20 → x = 4.
Adım 3. y bul: y = 2(4) − 3 = 5.
Adım 4. Soru x + y istiyor: 4 + 5 = 11. Doğru cevap C.
İpucu: Bir denklemde değişkenlerden biri yalnız bırakılmışsa substitution her zaman en hızlı yol. A şıkkı sadece x'i bulmuş, y'yi atlamış (Tuzak 02).
| substitution | yerine koyma yöntemi |
| elimination | yok etme (sadeleştirme) |
| simultaneous equations | eş zamanlı denklemler |
| intersection | kesişim noktası |
| consistent system | çözümü olan sistem |
Örnek 2 · Çözüm Sayısı
Aşağıdaki sistemin çözümünün olmaması için k değeri ne olmalıdır?
y = 5x + 2
kx − y = 7
- A) −5
- B) −2
- C) 2
- D) 5
Adım 1. İkinci denklemi y için yalnız bırak: kx − y = 7 → y = kx − 7.
Adım 2. İki denklemin slope-intercept formları: y = 5x + 2 ve y = kx − 7.
Adım 3. "Çözüm yok" demek doğrular paralel demek. Paralellik için eğimler eşit (m₁ = m₂), kesimler farklı (b₁ ≠ b₂) olmalı.
Eğimler eşit: k = 5. Kesimler kontrolü: +2 ≠ −7. Tamam, farklı.
Adım 4. k = 5. Doğru cevap D.
Test özeti: İki denklem y = mx + b formunda iken — m₁ ≠ m₂: tek çözüm; m₁ = m₂, b₁ ≠ b₂: çözüm yok; m₁ = m₂, b₁ = b₂: sonsuz çözüm.
| parallel lines | paralel doğrular (aynı eğim) |
| no solution | çözüm yok |
| infinitely many solutions | sonsuz çözüm |
| inconsistent | tutarsız sistem (çözümsüz) |
| dependent | bağımlı (sonsuz çözüm) |
Mini Quiz
Hadi Dene
Sistemin çözümünde y değeri kaçtır?
2x + 3y = 16
x − y = 3
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 5
Sistemin sonsuz çözümü olması için a + b değeri kaçtır?
3x + ay = 6
6x + 4y = b
- A) 12
- B) 13
- C) 14
- D) 16
Bir kafe iki tür sandviç satıyor. Tavuk sandviç 8 TL, peynir sandviç 6 TL. Bir günde toplam 45 sandviç satıldı ve elde edilen gelir 320 TL. Kaç peynirli sandviç satıldı?
- A) 20
- B) 22
- C) 25
- D) 28
Soru Bankasında Devam Et
Systems of Linear Equations konusundaki tüm soruları görmek için soru bankasına git.
Systems Sorularına Git