Exponential and Radical
Tanım
Üs ve kök birbirinin tersidir: x² = a ve x = √a aynı denklem.
Üstel ifadeler (exponential expressions) tekrarlı çarpmayı, kök ifadeler (radicals) bunun tersi olan işlemi temsil eder. SAT Advanced Math'te bu iki konu birlikte ele alınır çünkü bir ifade üs olarak da kök olarak da yazılabilir.
Konunun üç ana parçası:
- Üs kuralları: aynı tabanda çarpma, bölme, üs alma.
- Üstel fonksiyonlar: y = a · bx. Büyüme veya azalma modellemesi.
- Kök denklemler: içinde √x veya x1/n olan denklemler. Karekök alarak çözülür.
Tek sınavda 3-4 soru gelir. Üs kurallarını ezberlemek değil hızlı kullanmak önemli.
Üs Kuralları
Altı temel üs kuralı vardır. SAT bunların kombinasyonunu sorar.
5 Adımlı Strateji
Üstel ve kök sorularında tabanları eşitlemek anahtardır.
- Tüm üstel ifadeleri ortak tabana çevir. 4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³. Aynı taban yakalandığında üsleri eşitle.
- Kök ifadeleri rasyonel üse çevir. √x = x1/2, ³√x = x1/3. Üs kuralları artık uygulanabilir.
- Kök denklemde karekök alarak çöz. √(x − 3) = 5 → x − 3 = 25 → x = 28. Sonra orijinal denklemde doğrula.
- Üstel modelleme: oran ve başlangıç. y = a · bx içinde a başlangıç, b oran. b > 1: büyüme, 0 < b < 1: azalma.
- Yabancı kökleri (extraneous roots) kontrol et. Kök denklemlerde kareyi alırken yanlış kökler türetilebilir. Bulduğun değeri orijinal denklemde test et.
3 Tipik Tuzak
Üstel/kök sorularında üç ana hata.
Negatif Üs Yön Hatası
x⁻² = −x² sanmak. Doğrusu: x⁻² = 1/x². Negatif üs sayıyı negatif yapmaz, payda altına atar.
Yabancı Kök
Kök denklemde her iki tarafın karesini almak yanlış kök türetebilir. Orijinal denklemde test etmek şart.
Büyüme/Azalma Karıştırma
Modellemede b oranı 1'in altında ise azalma, üstünde büyüme. "10% azalır" → b = 0.9 (= 1 − 0.1).
Örnek 1 · Üs Kuralı
2x+1 = 32 denkleminde x değeri kaçtır?
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 16
Adım 1. Sağ tarafı 2'nin üssü olarak yaz: 32 = 2⁵.
Denklem: 2x+1 = 2⁵.
Adım 2. Tabanlar eşit, üsler de eşit olmalı: x + 1 = 5.
Adım 3. x = 4. Doğru cevap B.
Ortak taban listesi: 2'nin üsleri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. 3'ün üsleri: 3, 9, 27, 81, 243. 5'in üsleri: 5, 25, 125, 625. Bunları ezbere bil.
| exponent / power | üs |
| base | taban |
| common base | ortak taban |
| radical | kök ifade |
| rational exponent | rasyonel üs (kesirli üs) |
Örnek 2 · Üstel Modelleme
Bir hesapta 5.000 TL var ve hesap yıllık %4 bileşik faizle büyüyor. t yıl sonra hesaptaki para miktarını veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
- A) P = 5000 · (0.04)t
- B) P = 5000 · (0.96)t
- C) P = 5000 · (1.04)t
- D) P = 5000 + 0.04t
Adım 1. Bileşik faiz üstel büyümedir, lineer değil. Genel formu: P = a · bt.
Adım 2. Başlangıç (a) = 5000.
Adım 3. Büyüme oranı (b): "her yıl %4 artar" → b = 1 + 0.04 = 1.04.
Adım 4. Denklem: P = 5000 · (1.04)t. Doğru cevap C.
Doğruluk testi: 1 yıl sonra: 5000 · 1.04 = 5200, mantıklı. A şıkkı sadece %4'ü taban yapmış (Tuzak 03), B azalma formu, D lineer (yanlış model).
| compound interest | bileşik faiz |
| exponential growth | üstel büyüme |
| exponential decay | üstel azalma |
| growth rate | büyüme oranı |
| initial amount | başlangıç miktarı |
Mini Quiz
Hadi Dene
9x · 3 = 272 denkleminde x değeri kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 2.5
- D) 3
√(2x + 1) = 5 denkleminde x değeri kaçtır?
- A) 11
- B) 12
- C) 13
- D) 24
Bir bakteri kolonisi her 3 saatte ikiye katlanıyor. Başlangıçta 100 bakteri varsa, 12 saat sonra kaç bakteri olur?
- A) 1600
- B) 800
- C) 400
- D) 200
Soru Bankasında Devam Et
Exponential and Radical konusundaki tüm soruları görmek için soru bankasına git.
Exponential Sorularına Git