Quadratic Equations
Tanım
İkinci dereceden denklem: en yüksek üs 2, grafiği parabol.
Quadratic equation (karesel denklem), genel formu ax² + bx + c = 0 şeklindeki ikinci dereceden denklemdir. Grafiği paraboldur (parabola). a katsayısının işareti parabolün açılış yönünü belirler: a > 0 yukarı açık, a < 0 aşağı açık.
SAT'te bu konuda 4-6 soru çıkar. Üç temel form aracıyla çözüm yapılır:
- Standard form: y = ax² + bx + c. y-kesimi (c) doğrudan görülür.
- Factored form: y = a(x − p)(x − q). Kökler (p ve q) doğrudan görülür.
- Vertex form: y = a(x − h)² + k. Tepe noktası (h, k) doğrudan görülür.
Hangi formla başlasan, üçü arasında geçebilmen gerekir.
Çözüm Yöntemleri
Üç çözüm yöntemi vardır. Soru tipine göre en hızlısını seç.
5 Adımlı Strateji
Quadratic sorularında yöntem seçimi çözüm hızını ikiye katlar.
- Denklemi standart forma getir. ax² + bx + c = 0. Tüm terimleri bir tarafa al, sağ taraf sıfır olmalı.
- Çarpanlara ayrılır mı bak. a = 1 ise iki sayı ara: çarpımları c, toplamları b. Bulursan factored form (x − p)(x − q) = 0. p ve q kökler.
- Çarpan bulunmuyorsa formül uygula. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. b² − 4ac'yi önce hesapla, negatif çıkarsa reel kök yok.
- Tepe noktası isteniyorsa vertex form'a geç. y = a(x − h)² + k. h ile k tepe koordinatları. Standart formdan: h = −b/2a, k yerine koy.
- Köklerin toplamı veya çarpımı sorulursa Vieta kuralı. Toplam: p + q = −b/a. Çarpım: p · q = c/a. Köklerin tek tek değerini bulmana gerek yok.
3 Tipik Tuzak
Quadratic sorularında en yaygın üç hata.
Diskriminant Yön Hatası
Δ < 0 olduğunda "kök yok" yazmak yerine yanlış pozitif kök bulmak. Karekök içinde negatif sayı reel sayıda tanımsızdır.
Vertex Yer Karıştırma
y = a(x − h)² + k formunda işareti yanlış okumak. Vertex (h, k); parantezdeki işaret tersi.
Eksi-Eksi Hatası
Formülde −b/2a kullanırken b negatifse iki kez negatifi unutmak. −(−4) = 4.
Örnek 1 · Çarpanlara Ayırma
x² − 7x + 12 = 0 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
- A) −12
- B) −7
- C) 5
- D) 7
Yol 1 — Vieta. Kökler toplamı = −b/a = −(−7)/1 = 7. Doğrudan cevap.
Yol 2 — Çarpanlama. Çarpımları 12, toplamları −7 olan iki sayı: −3 ve −4. (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 veya x = 4. Toplam: 3 + 4 = 7.
Her iki yol aynı sonuç. Doğru cevap D.
Hızlı yol: "Köklerin toplamı" veya "çarpımı" istenirse Vieta kuralı çözmeden hızlıca verir. Bunu içselleştir. B şıkkı b'yi olduğu gibi alan tuzak (Tuzak 03).
| root / zero | kök / sıfır (denklemin çözümü) |
| factor | çarpan, çarpanlara ayırmak |
| sum of roots | köklerin toplamı: −b/a |
| product of roots | köklerin çarpımı: c/a |
| parabola | parabol |
Örnek 2 · Tepe Noktası
f(x) = x² − 8x + 19 fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
- A) −19
- B) −3
- C) 3
- D) 19
Adım 1. a = 1 > 0 olduğu için parabol yukarı açıktır, fonksiyonun minimumu vertex'in y değeridir.
Adım 2. Vertex x koordinatı: h = −b/2a = −(−8)/(2·1) = 4.
Adım 3. Minimum y: f(4) = (4)² − 8(4) + 19 = 16 − 32 + 19 = 3.
Minimum 3. Doğru cevap C.
Vertex form ile doğrulama: x² − 8x + 19 = (x − 4)² − 16 + 19 = (x − 4)² + 3. Vertex form (x − h)² + k → h = 4, k = 3. Minimum k = 3.
| vertex | tepe noktası |
| minimum value | minimum değer (a > 0 ise) |
| maximum value | maksimum değer (a < 0 ise) |
| axis of symmetry | simetri ekseni (x = h) |
| completing the square | kareyi tamamlama |
Mini Quiz
Hadi Dene
x² + 6x − 16 = 0 denkleminin pozitif kökü kaçtır?
- A) 1
- B) −2
- C) 2
- D) 8
f(x) = −2(x − 5)² + 12 fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır?
- A) 5
- B) 12
- C) −12
- D) 24
2x² + kx + 8 = 0 denkleminin tek kökü olması için pozitif k değeri kaçtır?
- A) 4
- B) 6
- C) 7
- D) 8
Soru Bankasında Devam Et
Quadratic Equations konusundaki tüm soruları görmek için soru bankasına git.
Quadratic Sorularına Git