Polynomial and Rational
Tanım
Önce çarpanlara ayır, sonra sadeleştir. Asla terimleri değil, çarpanları kısaltırsın.
Polynomial (polinom), birden fazla terimden oluşan cebirsel ifadedir. Rational expression (rasyonel ifade) ise pay ve paydası polinom olan bir kesirdir. SAT'te bu konu çarpanlara ayırma becerisini test eder.
Üç ana alt başlık:
- Polinom işlemleri: toplama, çıkarma, çarpma, dağılma.
- Çarpanlara ayırma: GCF, iki kare farkı, trinom çarpanlama.
- Rasyonel ifadeler: sadeleştirme, tanımsız değerler (payda = 0), pay ve payda çarpanları.
SAT'te bu konuda 3-4 soru çıkar. Sorular genellikle "sadeleştirilmiş hali nedir" veya "ifade hangi x değerinde tanımsız" şeklinde gelir.
Çarpanlara Ayırma Türleri
SAT'te en sık karşılaşılan dört çarpanlama kalıbı.
5 Adımlı Strateji
- Önce GCF'yi çek. Pay ve paydadaki ortak sayısal ve değişken çarpanları dışarı al. 4x² + 8x = 4x(x + 2).
- Pay ve paydayı ayrı çarpanlandır. İki kare farkı, trinom, tam kare kalıplarına bak.
- Ortak çarpanları sadeleştir. Sadece ortak çarpan sadeleşir, ortak terim değil. (x+2)/(x+2) = 1 tamam, ama (x+2+a)/(x+2) sadeleşmez.
- Tanımsız değerleri belirle. Sadeleştirme öncesi paydayı sıfır yapan tüm değerler ifadenin tanım kümesi dışındadır.
- Polinom toplama/çarpmada dikkat. Toplamada benzer terim toplanır. Çarpmada her terim her terimle çarpılır (distributive).
3 Tipik Tuzak
Terim Sadeleştirme
(x + 4)/4 ifadesinde 4'ü sadeleştirip x bırakmak. Yanlış. Sadeleştirme sadece çarpanlar için.
Eksik Tanımsız Değer
Sadeleştirme yapıldıktan sonra kalan paydadaki değerleri tanımsız sanmak. Orijinal paydadaki tüm değerler tanımsız.
Negatif Dağıtım
Polinom çıkarımında işaretleri tüm terime dağıtmamak. (3x² + 2x) − (x² − x) = 3x² + 2x − x² + x.
Örnek 1 · Sadeleştirme
(x² − 9) / (x² − 6x + 9) ifadesinin sadeleştirilmiş hali nedir?
- A) (x − 3) / (x + 3)
- B) (x + 3) / (x − 3)
- C) 1
- D) x − 3
Adım 1. Payı çarpanlandır: x² − 9 = (x + 3)(x − 3) (iki kare farkı).
Adım 2. Paydayı çarpanlandır: x² − 6x + 9 = (x − 3)² = (x − 3)(x − 3) (tam kare).
Adım 3. İfade: [(x + 3)(x − 3)] / [(x − 3)(x − 3)]. Bir (x − 3) sadeleşir.
Adım 4. Sonuç: (x + 3) / (x − 3). Doğru cevap B.
Not: Sadeleştirilmiş hali (x+3)/(x−3) olsa bile, ifade x = 3'te hâlâ tanımsız (orijinal paydada sıfır yapar).
| factor | çarpan |
| simplify | sadeleştirmek |
| difference of squares | iki kare farkı |
| perfect square trinomial | tam kare üç terimli |
| undefined | tanımsız (payda = 0 olduğunda) |
Örnek 2 · Tanımsız Değerler
f(x) = (x − 4) / (x² − x − 12) rasyonel fonksiyonunun tanımsız olduğu x değerlerinin toplamı kaçtır?
- A) −1
- B) 1
- C) 4
- D) 12
Adım 1. Tanımsız = paydayı sıfır yapan x değerleri. Payda: x² − x − 12 = 0.
Adım 2. Çarpanlandır: çarpımları −12, toplamları −1 olan iki sayı = −4 ve 3. (x − 4)(x + 3) = 0.
Adım 3. Kökler: x = 4 ve x = −3.
Adım 4. Toplam: 4 + (−3) = 1. Doğru cevap B.
Dikkat: Pay da x = 4'te sıfır olur (sadeleşme noktası), ama bu yine de tanım kümesi dışı kalır. "Kaldırılabilir süreksizlik" denir, ama tanımsızlık devam eder.
| rational function | rasyonel fonksiyon |
| domain | tanım kümesi |
| undefined value | tanımsız değer |
| denominator | payda |
| removable discontinuity | kaldırılabilir süreksizlik |
Mini Quiz
Hadi Dene
(2x² + 6x) / (4x) ifadesinin sadeleştirilmiş hali nedir? (x ≠ 0)
- A) x + 6
- B) 2x + 6
- C) (x + 3) / 2
- D) (2x + 6) / 4
(3x² − 5x + 2) − (x² − 2x + 7) ifadesinin sadeleştirilmiş hali nedir?
- A) 2x² − 3x − 5
- B) 2x² − 7x + 9
- C) 4x² − 7x + 9
- D) 2x² − 3x + 9
f(x) = 1 / (x² − 16) fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan x değerleri hangi şıkta verilmiştir?
- A) 0
- B) 4 yalnızca
- C) 16 yalnızca
- D) 4 ve −4
Soru Bankasında Devam Et
Polynomial and Rational konusundaki tüm soruları görmek için soru bankasına git.
Polynomial Sorularına Git